Összefoglaló statisztikai módszerekkel - Bank kivonatok, esszék, beszámolók, dolgozatok és

Matematikai statisztikai módszerek

Matematikai statisztika tudománya foglalkozik a fejlesztési módszerek átvételét, leírása és feldolgozása kísérleti adatok vizsgálni minták véletlenszerű tömeges jelenség.

A matematikai statisztikában a két terület különböztethető meg: leíró statisztika és az induktív statisztika (statisztikai következtetés). Leíró statisztika foglalkozik a felhalmozási, rendszerezése és bemutatása a kísérleti adatok megfelelő formában. Induktív statisztikát ezen adatok alapján lehetővé teszi, hogy dolgozzon bizonyos következtetéseket az objektum, amely az adatok és becslési azok paramétereit.

Tipikus felhasználási területei matematikai statisztika:

statisztikai hipotézis tesztelése;

Az alapja a matematikai statisztika fekszik egy sor alapvető fogalmak, amelyek nélkülözhetetlenek a tanulmány a modern kísérleti adatok feldolgozási módszerek. A szám az első közülük lehet, hogy a koncepció a lakosság és a mintát.

A tömeges ipari termelés gyakran kell ellenőrzés nélkül gyártott termékek annak megállapítására, hogy a szabványok a termék minőségét. Mivel a termékek száma igen nagy, vagy a termék tesztelése kapcsolódó hozza elhanyagoltság azt ellenőrizzük, kis számú termékek. Alapján ezt a tesztet, meg kell, hogy adjon véleményt a teljes terméksorozat. Természetesen nem azt állítják, hogy minden tranzisztor a párt egymillió. Pieces alkalmasak vagy alkalmatlanok, nézd meg az egyiket. Másrészt, mivel a kiválasztási folyamatot próbatestek és maga a vizsgálat is időigényes, és vezet a magasabb költségeket, az összeget a vizsgált termék olyannak kell lennie, hogy képes volt, hogy egy valós bemutatása az egész tétel a termékek minimális méretben. Ebből a célból, bemutatjuk számos fogalmat.

Az összes rendelkezésre álló tárgyak tanulmányi vagy kísérleti adatok hívják a lakosság. Jelölje N objektumok számát, vagy az adatok számát alkotó a lakosság körében. N érték említett mennyisége a teljes népesség. Ha N >> 1, azaz N nagyon nagy, akkor általában N = Ґ.

Véletlenszerű mintát vagy egy minta a részét a lakosság, véletlenszerűen kiválasztott belőle. A „véletlen” azt jelenti, hogy a kiválasztási valószínűséget bármilyen tárgy azonos lakosság körében. Ez egy fontos feltevés azonban gyakran nehéz ellenőrizni a gyakorlatban.

A minta mérete az a szám, tárgyak vagy adatmennyiség mintát alkotó, és jelöljük n. A következőkben azt feltételezzük, hogy az elemek a minta lehet rendelni, illetve a számszerű értékek x1, x2. xn. Például, a minőség-ellenőrzés által készített bipoláris tranzisztorok lehet mérése együttható DC erősítés.

2. Numerikus jellemzői a minta

2.1 minta középértéke

Egy adott minta mérete n annak minta átlag határozza meg a kapcsolatban

ahol xi - minta értéket elemek. Általában leírásához szükséges statisztikai tulajdonságait tetszőleges véletlenszerű mintavétel, nem egy közülük. Ez azt jelenti, hogy a matematikai modell, amely azt feltételezi, elegendően nagy számú mintát térfogatú n. Ebben az esetben, a minta elemeket tekintjük valószínűségi változók Xi, xi feltételezzük értékek valószínűség-sűrűség f (x), amely a valószínűsége sűrűsége a teljes népesség. Ezután a minta átlaga szintén egy véletlen változó egyenlő

Mint korábban mi jelöljük a véletlen változók nagybetűkkel, és az értékek valószínűségi változók - kisbetűs.

A középérték a népesség, amelyből a minta előállításához lesz az úgynevezett általános közepes és jelöli mx. Várható, hogy ha a minta mérete jelentős, akkor a minta átlaga nem különbözik jelentősen az általános átlag. Mivel a minta átlaga egy valószínűségi változó, akkor lehet, hogy megtalálják a matematikai elvárás:

Így, az elvárás a minta közép egyenlő az általános átlag. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a minta átlaga torzítatlan becslése a lakosság jelent. A jövőben még visszatérünk erre a kifejezésre. Mivel a minta átlaga egy valószínűségi változó körül ingadozott az átlag általában kívánatos, hogy értékelje az ingadozás a diszperziós minta jelent. Tekintsünk egy mintával, amelynek térfogata lényegesen kisebb, mint a hangerő n a lakosság N (N <

Véletlen változók Xi és Xj (i№j) függetlennek tekinthető, következésképpen

Behelyettesítve ezt az eredményt a képlet a diszperzió:

ahol s2 - szóródásának a lakosság.

Ebből a képletből következik, hogy a növekvő térfogatú mintát ingadozása az átlag körül mintaközeg csökkennek általános S2 / n. Hadd illusztráljam ezt egy példával. Tegyük fel, van egy véletlen jelet átlag és szórás rendre egyenlő mx = 10, S2 = 9.

A jel mintákat vesznek egymástól egyenlő távolságra lévő időpontokban T1, T2.

Mivel a minták véletlen változók, akkor jelöljük a X (t1), X (t2). X (tn).

Határozza meg a minták számát a szórás becsült készenléti jel nem haladta meg az 1% a várakozás. Mivel mx = 10, akkor meg kell Másrészről, vagy úgy Ebből következik, hogy n i 900 mintát.

A mintavétel fontos tudni, hogy nem csak a mintát jelent, hanem a terjedését mintaérték a minta körül átlag. Ha a minta átlaga a becsült átlagos Általában a diszperziós legyen szelektív értékelése a lakosság szórás. Minta eltérés a minta valószínűségi változók meghatározása a következő

Ezzel képviselete minta eltérés, akkor megtalálja a várakozás

Látjuk tehát, hogy ez azt jelenti, hogy a minta szórása torzított becslést a lakosság szórás. Ahhoz, hogy torzítatlan becslését, szükséges, hogy szaporodnak az értéket, akkor a minta eltérés adják

Tehát mi a következő eredményt. Ha ennek eredményeként a valószínűségi változó n független mérések X ismeretlen várható értéke és szórása is van szükségünk adatok alapján határozza meg ezeket a paramétereket, akkor használja a következő közelítő becslések

Ha ismert matematikai elvárás a teljes népesség MX, minta eltérés kell kiszámítani a következő képlettel

ami szintén torzítatlan becslését.

Statisztikai sorozat. A statisztikai eloszlás

Tegyük fel, hogy a mérési eredmények egy X valószínűségi változó ismeretlen forgalmazási szabályokat, amelyeket táblázatos formában:

Ez a táblázat az úgynevezett statisztikai adatsorok. Statisztikai szám az elsődleges statisztikai adatok rögzítése és fel tudja dolgozni a különböző módokon. Az egyik ilyen módszer az, hogy össze egy statisztikai feldolgozását a valószínűségi változó eloszlási függvény H.

Statisztikai (empirikus) F * (x) eloszlásfüggvény hívják a törvény változása az esetek gyakorisága X

Ahhoz, hogy megtalálja az érték a statisztikai eloszlás egy adott x, meg kell számolni a kísérletekben, amelyekben az X valószínűségi változó elfogadott értékek x-nél kisebb, és osszuk el az összes kísérletet tett. Az így kapott statisztikai eloszlási függvény egy nagyon durva közelítése F (x) eloszlásfüggvénye egy véletlen X változó, és mint ilyen, a gyakorlatban nem alkalmazzák. Ez bizonyos értelemben, minőségi, ahonnan lehet Feltételezhetjük véletlen változó X. törvény számának növelésével a kísérletek (n ®Ґ) F * (x) konvergál a valószínűsége F (x). Azonban a növekvő építési n F * (x) lesz nagyon időigényes művelet. Ezért a gyakorlatban gyakran célszerű használni statisztikai mérőszáma, amely megközelíti a megoszlása ​​a sűrűsége.

Statisztikai lakosság. oszlopdiagram

Ha nagyszámú megfigyelési adatok képviselet formájában statisztikai sorozat nehéz, és megoldani számos problémát és nem megfelelő. Ilyen esetekben a számlálás eredményeit a megfigyelés által csoportok és legfeljebb táblázat, amely meghatározza a frekvenciasáv és a kapott megfigyelések az egyes csoportokban. Több csoport, amelybe az eredmények a megfigyelések és a frekvencia kapott minden egyes csoportban tartalmaznak statisztikai aggregátum, amely az alábbiakban mutatjuk be.

Grafikus ábrázolása statisztikai sokaság hívják a hisztogram. A hisztogram a következőképpen van felépítve. A vízszintes tengelyen időközönként megfelelő több csoport, és mindegyik úgy van kialakítva téglalap, amelynek területe egyenlő a gyakorisága a csoport. Az építési következik, hogy a terület az összessége téglalapok egyenlő eggyel. Nyilvánvaló, hogy ha a hisztogram simán kapcsolják össze a pont, ez a görbe egy első közelítés a sűrűség eloszlása ​​a véletlen X változó

Ha a kísérletek száma, hogy növelje, és válassza ki a kisebb csoportokat (az ábrán kis időközönként) egy statisztikai populáció, a kapott hisztogram lesz egyre közelebb a sűrűség eloszlása ​​a véletlen változó X. A statisztikai aggregátum lehet használni, és az F * (x) eloszlás építeni egy közelítő függvényt mint valószínűségi változó határ értékeket csoportok.

5. Az eljárás legnagyobb valószínűség paraméterbecsléseket találni eloszlást

A módszer alapja az a maximális valószínűség ábrázolása n, mint a minta térfogata n-dimenziós véletlenszerű mennyiség (X1, X2 ,. Xn), ahol a tekintett független véletlen változók egyenletes sűrűségű eloszlás f (x). A sűrűség eloszlását n-dimenziós véletlen változó az úgynevezett likelihood függvény L (x1, x2. Xn), amely révén a véletlen változók a termék sűrűségének eloszlások a valószínűségi változók X1, X2. Xn:

L (x1, x2. Xn) = f (x1) f (x2). f (xn).

Ebből következik, hogy minden olyan funkciót, y = y (x1, x2. Xn) mintát értékei x1, x2. xn, az úgynevezett statisztikai lehet tekinteni, mint egy véletlen változó, amelynek eloszlása ​​egyértelműen meghatározzák a valószínűségét funkciót.

Tekintsük a módszert kell találni becslések paraméterek kísérleti adatok, amely felhasználja a valószínűsége funkciót.

Legyen f (x, a) - sűrűség eloszlását az X valószínűségi változó (a populáció), ami függ a paraméter egy. Likelihood funkció szintén függ a paraméter egy, és a forma

ÖSSZEFOGLALÁS maximum likelihood módszer az, hogy megtaláljuk egy ilyen paraméter értékét, ahol a likelihood függvény L (x1, x2. Xn, a) a maximális. Ehhez meg kell megoldani az egyenletet

és talál egy érték, amelynél az L (x1, x2. xn, a) maximumot ér el. Annak érdekében, hogy egyszerűsítse számítások általában maximalizálja a természetes logaritmusa likelihood függvény segítségével a tény, hogy

Ha az ismeretlenek több paramétere a1, a2. AM, majd a valószínűsége, funkciója függ a változók m L = L (x1, x2 Xn; .. A1, A2, AM), és az egyenleteket megoldani m

Példa. Legyen az bevitelt fogadó egység fogadja a összege két jel: Y (t) = x + z (t), ahol X - nem ismeretlen időfüggő jelet és Z (t) - véletlenszerű interferencia. A t1, t2. tn gyártott mérési érték Y (t). Alapján a kísérleti adatok (mintavételi) y1 = y (t1), y2 = y (t2). yn = y (tn) kell találni egy közelítő érték jel X.

Határozat. Let Z (t1), Z (t2). Z (tn) - független valószínűségi változók normális eloszlású 0 és mZ = diszperziós D (Z) = s2. Aztán a véletlen változók függetlenek és normális eloszlású ismeretlen elvárás és az azonos szórás s2. A eloszlási sűrűsége a véletlen változók Y (t1), Y (t2). Y (tn) tehát formájában

Mi írjuk a likelihood függvény az n-dimenziós véletlen változó (Y1, Y2 Yn.):

majd egyenlet