Csökkentése az általános egyenlet a második annak érdekében, hogy a kanonikus formában

Az általános egyenlete másodrendű felület formájában:

A másodfokú része az egyenletnek - a kvadratikus alak

kvadratikus mátrix formájában:

A kanonikus egyenlete másodfokú része a mátrix kell lennie átlós. Tisztában vagyunk azzal, hogy létezik egy ortogonális koordináta transzformáció, hogy a mátrix a négyzetes forma az új koordinátákat diagonális. Az új alapon képződik a sajátvektorok

Így annak érdekében, hogy az általános egyenlet kanonikus formában szükséges

· Saját ortogonális bázisa sajátvektorok;

Mozgás egy új koordináta-rendszer, amelyben a mátrix diagonális négyzetes részt;

· A végeznek párhuzamos fordítást a származási úgy, hogy az egyenlet elfogadott kanonikus formában (például, a közepén a felső felület).

Így, az áramkör vezetési a felület általános egyenlet szerint a kanonikus formában ugyanaz, mint a görbe. De vannak bizonyos különbségek, például akkor, ha a sajátértéke négyzetes forma sokfélesége nagyobb, mint 1. Nézzük egy példát.

Példa. Ólom a kanonikus formában a felület egyenlete

Keresse meg a kanonikus koordinátarendszerben.

Írunk a mátrix a másodfokú rész:

A karakterisztikus polinomja ez a mátrix:

Gyökerei a sajátértékek.

Keresünk sajátvektor.

A sajátvektor az egyenletrendszert mátrix a rendszer:

Így a jellemző vektor egy irányba normalizálják a (osztás hosszának), és megteszi, mint az első új bázis vektor

A sajátvektorok nyert egyenletek a rendszer mátrix a rendszer:

Így a sajátvektor megfelelő sajátérték 0 alkotnak kétdimenziós altér ortogonális vektor döntünk bármilyen vektor ezen altér, például normalizálja a (osztás hossza), és hogy a második új referencia vektor harmadik alapon vektor megtalálható, mivel fog tartozni altér sajátvektorok alkotják ortonormált sőt pozitívan orientált alapon. Szóval

Azt viszont, hogy az új koordinátarendszerben. Emlékezzünk vissza, hogy a régi koordináta kapcsolatos új következők:

ahol - a mátrix az átmenet egy új alapot, oszlopai a koordinátái az új alap vektorok a régi alapon.

Helyettesítsük ezeket a kifejezéseket a felület egyenlete. A kvadratikus része a helyettesítő nem szükséges, megfelelően jól ismert tétel a alapján sajátvektorok a négyzetes mátrix diagonális, ahol az átlós sajátértékek. Meg kell helyettesíteni ezeket a kifejezéseket csak a lineáris rész:

Ez az egyenlet parabolikus henger, de nem kanonikus. Meg kell csinálni egy másik tengely körül forgatva, mint a síkon, úgy döntöttünk alapján vektorok önkényesen, de nem voltak kanonikus. Körüli elfordulás által meghatározott tengely a mátrix:

Tehát meg kell találni egy szöget. amelyekre van, hogy forradalom. Általában ez a következőképpen történik. van

Tehát a mi esetünkben

Az ezt követő koordináta transzformáció

Így párhuzamos fordítás

és megkapjuk az új koordinátarendszerben kanonikus egyenlete parabolikus henger:

Most meg kell leírni az általános koordináta transzformáció, azaz által kifejezett koordinátákat Emlékezzünk, hogy az inverz ortogonális mátrix egybeesik a transzponálás. van

Tehát, ez az átalakulás ad nekünk egy kanonikus koordinátarendszerben: az elején van koordinátákat. alapján vektorok az új koordináta-tengely