Az alkalmazás az Térség tétel Másodfokú egyenletek megoldása

Nyolcadikos diákok megismerkednek a másodfokú egyenletek és módszerek azok megoldására. Ugyanakkor a tapasztalat azt mutatja, hogy a hallgatók többsége Másodfokú egyenletek megoldása teljes mértékben kihasználja csak egy módon - a képlet egy másodfokú egyenlet gyökereit. A diákok folyékonyan a készségek szóbeli beszámolót, ez a módszer egyértelműen irracionális. Problémák másodfokú egyenlet és a diákok gyakran a középiskolában, majd időt tölteni a számítás a diszkrimináns egyszerűen kár. Véleményem, a tanulmány a másodfokú egyenlet, kell több időt és figyelmet a használata a tétel a Térség (Program AG Mordkovich Algebra-8, csak két órát a tanulmány a témában „A tétel az Térség. Felbontása másodfokú polinom a lineáris tényezőt” tervezik).

A legtöbb tankönyv az algebra, ennek a tételnek van megfogalmazva, hogy a csökkent másodfokú egyenlet, amely kimondja, hogy ha az egyenletnek gyökerek és egyenletek tartsa őket. Ezután megfogalmazni a fordítottja Térség tétel, és kínál számos példát gyakorolni ebben a témában.

Vegyük konkrét példák és nyomkövetési megoldásokat őket a logika segítségével Térség tétel.

Példa 1. egyenlet megoldásához.

Tegyük fel, hogy ez az egyenlet a gyökerek, nevezetesen, valamint. Ezután a Térség tétel, míg a egyenletek

Vegye figyelembe, hogy a termék a gyökerek - egy pozitív szám. Ez azt jelenti, hogy a gyökerek az azonos jel. És mivel az összeg a gyökerek is egy pozitív szám, arra a következtetésre jutunk, hogy a két gyökere az egyenlet - pozitív. Térjünk vissza a terméket a gyökerek. Tegyük fel, hogy a gyökerei az egyenlet - pozitív egész szám. Aztán rögtön az első egyenlőség csak akkor lehetséges, kétféleképpen (legfeljebb a sorrendben tényezők): vagy. Ellenőrizzük számpárok javasolt megvalósíthatósági második állítás Térség :. Így a 2. és 3. kielégítik mindkét egyenletben, és így, a gyökerek egy előre meghatározott egyenlet.

Az alapvető szakaszai a megoldás a fenti megfontolások a másodfokú egyenlet segítségével Tétel Wyeth:

Térség rögzíti a tétel állítása

(Az első egyenlet ajánlott rögzíti a terméket a gyökerek);

• hogy meghatározzuk a jelei a gyökerei az egyenlet (amennyiben a termék és az összeg a gyökerek - pozitív, akkor a gyökereket - pozitív szám, ha a termék a gyökerek -. egy pozitív szám, és a gyökerek az összeg - negatív, akkor mind a gyökér -. negatív szám, ha a termék a gyökerek - negatív szám, akkor a gyökerek . Ebben az esetben a különböző jeleket, ha az összeg a gyökerek - pozitív, a nagy abszolút gyökere egy pozitív szám, és ha az összeg a gyökerek nullánál kisebb, a nagyobb gyökér modulo - negatív szám);
• vegye fel egy pár egész szám, amelyek a termék adja a jogot, hogy az első egyenletben bejegyzés (*);
• a talált számpárok választani a pár, hogy amikor helyettesített a második egyenletben a felvétel (*) ad egy valódi egyenlőség;
• jelzik a választ talált gyökereit.

Íme néhány példa.

2. példa: oldja egyenletet.

Hagyja, - a gyökerek az adott egyenlet. Ezután a tétel Térség Megjegyezzük, hogy a termék - a pozitív, és az összeg - negatív szám. Ezzel mind a gyökér - negatív számok. Kiválasztjuk a pár szorzók így 10 terméket (-1-től -10, -5, és -2). A második pár számok összesen -7. Ezért a száma -2 és -5 vannak gyökerei az egyenlet.

3. példa: oldja egyenletet.

Hagyja, - a gyökerek az adott egyenlet. Ezután a tétel Térség Megjegyezzük, hogy a termék - negatív. Tehát, a gyökerek - egy másik jel. gyökerei az összeg - mint negatív szám. Így egy nagyobb gyökér modulo - negatív. Kiválasztjuk a pár szorzók így 10 terméket (-10 és 1, 2 és 5). A második pár számok összesen -3. Ennélfogva, a számok a 2. és -5 vannak gyökerei az egyenlet.

Megjegyezzük, hogy a tétel a Térség, elvileg meg lehet fogalmazni egy teljes másodfokú egyenlet: ha a másodfokú egyenlet gyökerei, és a egyenlőségek tartsa őket. Alkalmazása azonban ennek a tételnek meglehetősen problematikus, mivel a teljes másodfokú egyenlet szerinti legalább egy a gyökerek (ha rendelkezésre áll, természetesen) egy törtszám. És dolgozni a hosszú és kemény a kiválasztási frakciók. Mégis van megoldás.

Tekintsük a teljes másodfokú egyenlet. Szorozzuk mindkét oldalán egy első tényező a, és írni az egyenlet. Bemutatjuk az új változó, és kap adott másodfokú egyenletet, amelynek gyökerei (ha van ilyen) megtalálható az Térség tétel. Ezután a gyökerei az eredeti egyenlet lesz. Megjegyezzük, hogy az írási kisegítő fenti egyenlet nagyon egyszerű: a második tényező van tárolva, és a harmadik tényező egyenlő az AC. Bizonyos ügyességi hallgatók közvetlenül alkotják a kisegítő egyenlet megtalálja a gyökereit Wyeth-tétel, és jelzik gyökerek meghatározott teljes egyenlet. Íme néhány példa.

4. példa megoldásához egyenletet.

Mi egy segédanyag egyenlet Térség tétel, azt látjuk, a gyökerei. Ez azt jelenti, hogy a gyökerei az eredeti egyenletnek.

5. példa megoldásához egyenletet.

Kiegészítő egyenlet formájában. Térség tétel annak gyökereit. Találunk a gyökerei az eredeti egyenletnek.

És egy másik esetben, ha a kérelmet a Térség tétel lehetővé teszi, hogy megtalálja a szóban gyökerei a másodfokú egyenlet teljes. Könnyen bizonyítani, hogy az 1. számú gyöke az egyenletnek akkor és csak akkor, ha. A második található a gyökere Wyeth-tétel, és megfelel. Tovább nyilatkozata: hogy a szám -1 gyöke az egyenletnek van szükséges és elégséges, hogy. Aztán a második gyökere az egyenlet Térség tétel. Hasonló megállapításokat lehet megfogalmazni a fenti másodfokú egyenlet.

6. példa megoldásához egyenletet.

Megjegyezzük, hogy az összeg az együtthatók az egyenlet nulla. Így a gyökerei az egyenlet.

7. példa megoldásához egyenletet.

Az együtthatók ennek az egyenletnek az a tulajdonsága (tényleg, 1 - (- 999) + (- 1000) = 0). Így a gyökerei az egyenlet.

Példák a használata Tétel Wyeth

Feladat 1. Oldjuk meg a megadott másodfokú egyenlet segítségével Térség tétel.