Algebra a 8. évfolyam, osztály grafikus megoldás másodfokú egyenlet
Az előadás és a leckét „Grafikus megoldás másodfokú egyenlet”
Oktatóanyagok és szimulátorok online áruház „Integrál” 8. osztályosok
Képzés és a gyökerek funkciók és grafikonok
A grafikonok a másodfokú függvények
Az utolsó tanulsága, hogyan kell felépíteni egy grafikon bármely másodfokú függvény. Segítségével ezek a funkciók, meg tudjuk oldani az úgynevezett másodfokú egyenlet, ami meg van írva általános formája a következő: $ ax ^ 2 + bx + c = 0 $,
$ A, B, C $ - bármennyi, de $ ≠ 0 $.
Srácok, hasonlítson egyenlet írásos fölött, és ez a: $ y = ax ^ 2 + bx + c $.
Ők szinte azonos. A különbség az, hogy ahelyett, hogy a $ y $ felvettük $ 0 $, azaz $ Y = 0 $. Hogy akkor lehet megoldani másodfokú egyenletek? Az első dolog, ami eszébe jut, meg kell rajzolni a parabola $ ax ^ 2 + bx + c $, és megtalálja a metszéspont a grafikon és a vonal $ y = 0 $. Vannak más módon megoldani. Tekintsük a konkrét példa.
Módszerek Másodfokú függvények
Példa.
Megoldani az egyenletet: $ x ^ 2 + 2x-8 = 0 $.
Határozat.
1. Eljárás konstrukció a grafikon a $ y = x ^ 2 + 2x-8 $, és megtalálja a metszéspont a vonal $ y = 0 $. A koefficiens a legmagasabb teljesítmény pozitív, akkor a parabola ága keresi fel. Megtaláljuk a csúcsainak koordinátáit:
$ X _ = - \ frac = \ frac = -1 $.
$ Y _ = (- 1) ^ 2 + 2 * (- 1) -8 = 1-2-8 = $ -9.
Point koordinátái $ (- 1; -9) $ vesszük, mint az elején egy új koordinátarendszert és konstrukció a menetrend parabola $ y = x ^ 2 $.
Látjuk két csomópont. Ők vannak jelölve fekete pontok a grafikonon. Mi megoldjuk az egyenletet x, ezért ki kell választanunk a abszcisszái ezeket a pontokat. Ezek $ -4 $ és $ 2 $.
Így a megoldás a másodfokú egyenlet $ x ^ 2 + 2x-8 = 0 $ két gyökerek: $ x_1 = -4 $ és $ x_2 = $ 2.
2. módszer: Transform az eredeti egyenletet formájában: $ x ^ 2 = 8-2x $.
Ezen a módon tudjuk megoldani ezt az egyenletet a szokásos grafikus módszer megtalálása abscissa a metszéspontja két grafikon $ y = x ^ 2 $ és $ y = 8-2x $.
Szerzett két csomópont, az abszcisszán a amelyek egybeesnek azokkal, amelyeket az első eljárás megoldások, nevezetesen: $ x_1 = -4 $ és $ x_2 = 2 $.
3. módszer.
Mi átalakítani az eredeti egyenlet ebben a formában: $ x ^ 2-8 = -2x $.
Készítünk két grafikon $ y = x ^ 2-8 $ és $ y = -2x $, és megtalálja a metszéspont.
Menetrend $ y = x ^ 2-8 $ parabola ellensúlyozza 8 egység lefelé.
Kapott két metszéspont, az abszcisszán e pontok ugyanazok, mint az előző két módszer, nevezetesen: $ x_1 = -4 $ és $ x_2 = $ 2.
4. módszer.
Izolátum teljes tér az eredeti egyenlet: $ x ^ 2 + 2x-8 = x ^ 2 + 2x + 1-9 = (x + 1) ^ $ 2-9.
Mi konstrukció két grafikon funkciók $ y = (x + 1) ^ 2 $, és $ y = $ 9. A grafikon az első függvény egy parabola eltolt egy egységgel balra. A grafikon a második funkció - ez egy sor párhuzamos az x-tengely, és áthalad az ordinátán egyenlő $ 9 $.
Ismét van két metszéspontja a grafikonok, abszcisszái e pontok egybeesnek azokkal, amelyeket a korábbi eljárások $ x_1 = -4 $ és $ x_2 = 2 $.
5. módszer.
Elosztjuk az eredeti egyenletet x: $ \ frac + \ Frac \ frac = \ frac $.
$ X + 2- \ frac = 0 $.
$ X + 2 = \ frac $.
Mi megoldja ezt a egyenletet grafikusan konstrukció két grafikon $ y = x + 2 $ és $ y = \ frac $.
Ismét kapott két metszéspont, az abszcisszán a pontok egybeesnek azokkal, amelyeket a fenti $ x_1 = -4 $ és $ x_2 = $ 2.
Algoritmus grafikus megoldás a másodfokú függvények
Srácok, már úgy öt módszer grafikai megoldások másodfokú egyenlet. Minden ilyen módon a gyökereit egyenletek kiderült azonos, ami azt jelenti, a megfelelő oldatot kapunk.
A fő módszerei grafikai megoldások másodfokú egyenlet $ ax ^ 2 + bx + c = 0 $, $ a, b, c $ - tetszőleges számú, de $ a ≠ 0 $:
1. Szerkesszünk egy grafikont $ y = ax ^ 2 + bx + c $, talál egy metszéspontja az x tengely, melyik lesz egyenlet megoldása.
2. Construct két grafikon $ y = ax ^ 2 $ és $ y = -bx-c $, megtalálja az abszcissza a metszéspontok A diagramok.
3. Construct két grafikon $ y = ax ^ 2 + c $ és $ y = -bx $, megtalálja az abszcissza a metszéspontok A diagramok. A grafikon az első függvény egy parabola, vagy eltolódott felfelé vagy lefelé, attól függően, hogy számos jel s. A második diagram - a vonalon áthaladó eredetű.
4. kiválasztása tökéletes négyzet, hogy van, hogy az eredeti egyenletet formájában: $ a (x + l) ^ 2 + m = 0 $.
Építeni két grafikonjának $ y = a (x + l) ^ 2 $, és $ y = -m $, megtalálja a metszéspont. A grafikon az első függvény egy parabola tolódott akár a bal, vagy a jobb, attól függően, hogy a jel a szám $ l $. A grafikon a második funkció egy egyenes vonal párhuzamos a vízszintes tengelyen, és a függőleges tengelyen metszik egymást egy pont egyenlő $ -m $.
5. Osszuk az eredeti egyenletet x: $ ax + b + \ frac = 0 $.
Átalakítás formában: $ \ frac = -ax-b $.
Ismét építeni két grafikont és megtalálja metszéspontot. Az első grafikon - hiperbola, a második grafikon - egyenes. Sajnos, grafikus módszerrel megoldására másodfokú egyenlet nem mindig jó módja annak, hogy megoldja. Metszéspontjai a különböző diagramok nem mindig egész szám, vagy esetleg az abszcissza (ordináta) igen nagy számban, ami nem épít egy normál papírlapra.
Több világosan mutatják az összes ezeket a technikákat példával.
Példa.
Megoldani az egyenletet: $ x ^ 2 + 3x-12 = 0 $,
Határozat.
Építünk a grafikont a parabola, és megtalálja a csúcsainak koordinátáit: $ x = _ - \ frac = \ frac = -1,5 $.
$ Y _ = (- 1,5) ^ 2 + 2 * (- 1,5) -8 = 2,25-3-8 = -8,75 $.
Amikor létrehozunk egy parabola egyszer problémák merülnek fel, például, hogy megfelelően jelölje meg a tetején a parabola. Annak érdekében, hogy pontosan jelölje meg ordináta csúcsok ki kell választania egy cella, egyenlő 0,25 egység skála. Az ilyen méretű lemenni 35 egység le, ami kényelmetlen. Mindegy, mi építeni a menetrend.
A második gond az, hogy a függvény grafikonján keresztezi az x tengely a ponton a koordinátákat, hogy pontosan lehetetlen. Talán egy hozzávetőleges megoldást. de a matek - ez egy egzakt tudomány.
Így a grafikus módszer nem a legkényelmesebb. Ezért, hogy megoldja a másodfokú egyenletek igényel univerzális módszer, amely azt fogja felfedezni a következő leckét.
Feladatok az önálló döntési
1. egyenlet megoldásához grafikusan (mind az öt módon): $ x ^ 2 + 4x-12 = 0 $.
2. Oldjuk egyenletet bármilyen grafikus módon: $ -x ^ 2 + 6x + $ 16 = 0.